Aljabar linear adalah bidang studi matematika yang mempelajari sistem persamaan linear dan solusinya, vektor, serta transformasi linear. Matriks dan operasinya juga merupakan hal yang berkaitan erat dengan bidang aljabar linear. Discover the world's research25+ million members160+ million publication billion citationsJoin for free 1 Karakteristik Nilai Eigen, Nilai Determinan dan Nilai Invers dari jenis-jenis Matriks Simetri Ajeng Satriya Salmajati1, Nicky Putri2, Pramudya Aldi Nugraha3 1Teknik Industri, Fakultas Teknik, Universitas Pelita Bangsa 1ajengsalma58 2 putrinicky09 3 aldipramudya96 1. Pendahuluan Bagi banyak orang Matematika adalah sesuatu yang rumit, karena hal itu banyak orang yang menghindari Matematika. Padahal Matematika selalu kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari dan pastinya kita harus menggunakan Matematika dalam berbagai kegiatan sehari-hari. Maka dari itu saya membuat makalah ini dengan tujuan membantu dalam memahami Matematika agar tidak mengganggap matematika merupakan hal yang buruk. Secara khusus dalam materi Determinan. Aljabar dari bahasa arab "al-jabr" yang berarti "pengumpulan bagian yang rusak"[1] adalah salah satu bagian dari bidang matematika yang luas, , geometri dan analisis. Dalam bentuk paling umum, aljabar adalah ilmu yang mempelajari simbol-simbol matematika dan aturan untuk memanipulasi simbol-simbol ini;[2] aljabar adalah benang pemersatu dari hampir semua bidang matematika.[3] Selain itu, aljabar juga meliputi segala sesuatu dari dasar pemecahan persamaan untuk mempelajari abstraksi seperti grup, gelanggang, dan medan. Semakin banyak bagian-bagian dasar dari aljabar disebut aljabar elementer, sementara bagian aljabar yang lebih abstrak yang disebut aljabar abstrak atau aljabar modern. Aljabar elementer umumnya dianggap penting untuk setiap studi matematika, ilmu pengetahuan, atau teknik, serta aplikasi dalam kesehatan dan ekonomi. Aljabar abstrak merupakan topik utama dalam matematika tingkat lanjut, yang dipelajari terutama oleh para profesional dan pakar matematika. Persamaan linear adalah sebuah persamaan aljabar, yang tiap sukunya mengandung konstanta, atau perkalian konstanta dengan variabel tunggal. Persamaan ini dikatakan linear sebab hubungan matematis ini dapat digambarkan sebagai garis lurus dalam Sistem koordinat Kartesius. Aljabar linear adalah bidang studi matematika yang mempelajari sistem persamaan linear dan solusinya, vektor, serta transformasi linear. Matriks dan operasinya juga merupakan hal yang berkaitan erat dengan bidang aljabar linear. Nilai Eigen adalah nilai karakteristik dari suatu matriks berukuran n x n, sementara vektor Eigen vektor kolom bukan nol yang bila dikalikan dengan suatu matriks berukuran n x n akan menghasilkan vektor lain yang memiliki nilai kelipatan dari vektor Eigen itu sendiri.[1][2] Definisi tersebut berlaku untuk matriks dengan elemen bilangan real dan akan mengalami pergeseran ketika elemen berupa bilangan kompleks.[1][3] Untuk setiap nilai Eigen ada pasangan vektor Eigen yang berbeda, namun tidak semua persamaan matriks memiliki nilai Eigen dan vektor Eigen.[1] Nilai Eigen dan vektor Eigen berguna dalam proses kalkulasi matriks, di mana keduanya dapat diterapkan dalam bidang Matematika murni dan Matematika terapan seperti transformasi linear.[4]. Kumpulan pasangan nilai dan vektor Eigen dari suatu matriks berukuran n x n disebut sistem Eigen dari matriks tersebut. Dalam bidang aljabar linear, determinan adalah nilai yang dapat dihitung dari unsur suatu matriks persegi. Fungsi Invers atau dapat disebut sebagai Fungsi Kebalikan adalah fungsi yang merupakan kebalikan dari aksi fungsi awalnya. ... Karena setiap anggota B memiliki tepat satu pasangan di A. Dengan demikian R2 dapat dikatakan sebagai fungsi invers dari f yang biasanya dinotasikan dengan f−1. 2. Metode Penelitian Rumus menghitung nilai eigen , nilai determinan dan nilai invers dapat dilihat pada gambar berikut ini. a. Nilai Eigen Sebuah matriks persegi 𝑛 × 𝑛 memiliki nilai dan vektor karakteristik yang lebih sering disebut sebagai nilai dan vektor eigen. Berikut diberikan definisi nilai dan vektor eigen dari suatu matriks. Definisi 1 [3] Jika 𝐴 adalah sebuah matriks 𝑛 × 𝑛, maka sebuah vektor tak nol 𝐯 pada 𝑹 𝑛 disebut vektor eigen eigenvector dari 𝐴 jika 𝐴𝐯 adalah sebuah kelipatan skalar dari 𝐯 yaitu 𝐴𝐯 = 𝜆𝐯 untuk sebarang skalar 𝜆. Skalar 𝜆 disebut nilai eigen eigenvalue dari 𝐴, dan 𝐯 disebut sebagai vektor eigen dari 𝐴 yang bersesuaian dengan 𝜆. Untuk memperoleh nilai eigen dari sebuah matriks 𝐴 berukuran 𝑛 × 𝑛, dapat ditulis sebagai 𝐴𝐯 = 𝜆𝐼𝐯 atau ekuivalen dengan 𝜆𝐼 − 𝐴 = 𝟎 1 agar 𝜆 dapat menjadi nilai eigen, harus terdapat paling sedikit satu solusi tak nol dari Persamaan 1. Namun, Persamaan 1 memiliki solusi tak nol jika dan hanya jika 𝑑𝜆𝐼 − 𝐴 = 0 2 Persamaan 2 disebut persamaan karakteristik matriks 𝐴. Skalar- Ajeng Satriya Salmajati1, Nicky Putri2, Pramudya Aldi Nugraha3 2 skalar yang memenuhi persamaan tersebut adalah nilai-nilai eigen matriks 𝐴. • Interval Interval adalah himpunan bilangan-bilangan real yang ditunjukkan sebagai suatu pasangan berurut dan dinyatakan dalam suatu ketaksamaan [4]. Dalam analisis interval, suatu ketaksamaan interval dinyatakan dalam bentuk interval tertutup pada garis real. Berikut ini diberikan definisi tentang interval tertutup, midpoint, dan width dari suatu interval. Selanjutnya, dalam mempelajari interval dikenal istilah himpunan semua interval sejati yang didefinisikan dengan 𝐈𝐑 = {𝑥̃ = [𝑥, 𝑥] ∶ 𝑥 ≤ 𝑥, dengan 𝑥, 𝑥 ∈ ℝ }dan himpunan semua interval tak sejati yang didefinisikan dengan 𝐈𝐑 = {𝑥̃ = [𝑥, 𝑥] ∶ 𝑥 > 𝑥, dengan 𝑥, 𝑥 ∈ ℝ } Sedangkan gabungan himpunan interval sejati dan himpunan interval tak sejati yang disebut dengan generalisasi interval didefinisikan dengan 𝐃 = 𝐈𝐑 ∪ 𝐈𝐑 = {[𝑥, 𝑥], dengan 𝑥, 𝑥 ∈ ℝ }. Entri-entri matriks interval dalam penelitian ini berada pada 𝐃 agar operator dual bisa digunakan. • Aritmatika Interval Diberikan +, −, , dan ÷, yang masing-masing menyatakan operasi aritmetika pada penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian suatu interval. Jika ∗ ∈ {+, −, , ÷} dan 𝑥̃, 𝑦̃ ∈ 𝐃 dengan 𝐃 = 𝐈𝐑 ∪ 𝐈𝐑 = {[𝑥, 𝑥], dengan 𝑥, 𝑥 ∈ ℝ }, maka berikut ini diberikan definisi operasi aritmetika pada bilangan interval 𝑥̃ dan 𝑦̃. Definisi 5 [6] Operasi pada aritmetika interval dengan 𝑥̃, 𝑦̃ ∈ 𝑫 dan ∗ ∈ {+, −,,÷} dapat ditulis sebagai berikut 𝑥̃ ∗ 𝑦̃ = {𝑥 ∗ 𝑦𝑥 ∈ 𝑥̃, 𝑦 ∈ 𝑦̃} Oleh karena itu, interval 𝑥̃ ∗ 𝑦̃ menghasilkan operasi yang memuat setiap bilangan yang dapat dibentuk sebagai 𝑥 ∗ 𝑦 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑥̃ dan 𝑦 ∈ 𝑦̃. Berikut ini diberikan sifat-sifat untuk dua interval 𝑥̃ ∗ 𝑦̃ dari suatu interval tertutup. Misalkan diberikan dua interval yaitu 𝑥̃ = [𝑥, 𝑥] dan 𝑦̃ = [𝑦, 𝑦]; 𝑥̃,̃ ∈ 𝐃, sifat-sifat yang memenuhi operasi aritmetika interval 𝑥̃ ∗ 𝑦̃ adalah sebagai berikut 1. 𝑥̃ + 𝑦̃ = [𝑥 + 𝑦, 𝑥 + 𝑦], 2. 𝑥̃ − 𝑦̃ = [𝑥 − 𝑦, 𝑥 − 𝑦], 3. 𝑥̃ 𝑦̃ = [𝑚𝑖𝑛 {𝑥 𝑦, 𝑥 𝑦, 𝑥 𝑦, 𝑥 𝑦} , 𝑚𝑎𝑥 {𝑥 𝑦, 𝑥 𝑦, 𝑥 𝑦, 𝑥 𝑦}], 4. 𝑥̃ ÷ 𝑦̃ = 𝑥̃ 1 𝑦̃ = [𝑥, 𝑥] 𝟏 [𝑦,] , dengan 𝟏 [𝑦,𝑦] = [ 𝟏 𝑦 , 𝟏 𝑦 ] untuk 0 ∉ 𝑦̃. 5. 𝛼 + 𝑥̃ = [𝛼 + 𝑥, 𝛼 + 𝑥]. 6. 𝛼 𝑥̃ = [𝑚{𝛼 𝑥 , 𝛼 𝑥 }, 𝑚𝑎𝑥{𝛼 𝑥 , 𝛼 𝑥}] Dikenal pula istilah nilai mutlak pada interval yang dapat ditentukan dengan melihat nilai maksimum dari lower endpoint dan upper endpoint. Selain itu dapat pula ditentukan relasi hubungan antar dua interval yang digunakan untuk menunjukkan bahwa suatu interval lebih besar dari interval lainnya yang dapat dilihat dari midpoint kedua interval. Berikut ini diberikan definisi nilai mutlak dari suatu interval dan relasi hubungan antar dua interval. • Modifikasi Aritmatika Interval Dikenal istilah dual dalam modifikasi aritmetika interval. Dual merupakan operator penting dalam menukar batas atas upper endpoint dengan batas bawah lower endpoint dari suatu interval. Operator dual pada modifikasi aritmetika interval hanya digunakan pada operasi pengurangan dan pembagian pada dua interval yang bernilai sama. Misalkan diberikan 𝑥̃ = [𝑥, 𝑥] maka dual dari interval 𝑥̃ dapat ditulis sebagai 𝑑𝑢𝑥̃ = 𝑑𝑢𝑎𝑙[𝑥, 𝑥] = [𝑥, 𝑥]. Pada sebuah interval 𝑥̃ = [𝑥, 𝑥] dikenal pula istilah half-width yaitu setengah dari lebar interval 𝑥̃. Berikut ini diberikan definisi mengenai half-width dan sifat-sifat operasi modifikasi aritmetika interval. • Matriks Interval Matriks interval merupakan himpunan dari matriks-matriks dengan 𝑎̃𝑖𝑗 yang menyatakan entri dari matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j. Untuk setiap 𝑎 , 𝑎𝑖𝑗 ∈ ℝ maka 𝑎𝑖𝑗 adalah entri pada matriks interval dengan nilai terkecil dari 𝑎̃𝑖𝑗 dan 𝑎𝑖𝑗 adalah entri pada matriks dengan nilai terbesar dari 𝑎̃𝑖𝑗. E igen sering diperkenalkan kepada siswa dalam konteks program aljabar linier yang berfokus pada matriks. Lebih jauh, transformasi linear pada ruang vektor berdimensi-terbatas dapat direpresentasikan menggunakan matriks, yang sangat umum dalam aplikasi numerik dan komputasi. b. Nilai Determinan Determinan mempunyai peranan penting dalam menyelesaikan beberapa persoalan dalam matriks dan banyak dipergunakan dalam ilmu matematika maupun ilmu terapannya. Salah satu cara sederhana dalam menentukan determinan suatu matriks FLDcircr menggunakan ekspansi kofaktor. Penelitian ini bertujuan untuk menentukan determinan dari suatu matriks berbentuk khusus dengan menggunakan ekspansi kofaktor. Berdasarkan teori matriks terdapat berbagai jenis matriks, salah satunya matriks circulant dan matriks FLDcircr . matriks circulant adalah matriks bujur sangkar yang setiap elemen dari baris identik dengan baris sebelumnya, namun dipindahkan satu posisi ke kanan. Bentuk umum dari matriks circulant adalah sebagai berikut. Ajeng Satriya Salmajati1, Nicky Putri2, Pramudya Aldi Nugraha3 3 matriks FLDcircr adalah sebuah tipe baru dari matriks circulant. Bentuk umum dari matriks FLDcircr adalah sebagai berikut. Determinan mempunyai peranan penting dalam menyelesaikan beberapa persoalan dalam matriks dan banyak dipergunakan dalam ilmu matematika maupun ilmu terapannya. Nilai determinan suatu matriks dapat menentukan invers matriks. Jika nilai determinan matriks tidak nol, maka matriks tersebut punya invers. Namun jika nilai detrminannya nol, maka matrisk punya invers. Nilai determinan juga dapat menyelesaikan sistem persamaan linier. Sistem persamaan linier ini banyak digunakan oleh bidang ilmu optimasi, ekonomi, dan lainnya. Menghitung nilai determinan suatu matriks dapat menggunakan beberapa metode, diantaranya, Metode Sarrus, Metode Ekspansi Kofaktor, Metode CHIO, Metode Eliminasi Gauss, Metode Dekomposisi. Dan kita akan menggunakan metode ekspansi kofaktor. Definisi 1 [4] Matriks circulant adalah matriks bujur sangkar berorde n x n yang setiap elemen dari baris identik dengan baris sebelumnya, namun dipindahkan satu posisi ke kanan seperti pada Persamaan 1. Ada beberapa tipe dari matriks circulant, salah satu tipe dari matriks circulant adalah matriks FLDcircr . Berikut diberikan definisi dari matriks FLDcircr . Matriks Circulant Definisi 2 [6] Suatu matriks bujur sangkar dikatakan matriks FLDcircr the first and the last difference -circulant matrix jika memenuhi formulapada Persamaan 2. c. Nilai Matriks Dalam pelajaran matematika, untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variable SPLTV dapat menggunakan metode derminan dan invers matriks. Sebelum mencari invers suatu matriks harus menentukan determinannya terlebih dahulu. Determinan merupakan nilai yang dapat dihitung dari unsur-unsur suatu matriks persegi. Invers sendiri dapat diartikan sebagai lawan dari sesuatu kebalikan. Jika suatu matriks memiliki invers, dapat dikatakan matriks tersebut adalah matriks nonsingular. Sebaliknya, jika suatu matriks tidak memiliki invers, maka matriks tersebut merupakan matriks singular. Invers matriks adalah sebuah kebalikan invers dari kedua matriks. Apabila matriks tersebut dikalikan akan menghasilkan matriks persegi AB = BA = . Simbol dari invers matriks adalah pangkat -1 dan terletak di atas hurufnya. Sebagai contoh, matriks B adalah invers matriks A sehingga ditulis B = A–1 dan matriks A adalah invers dari matriks B ditulis A = B-1. Matriks A dan B merupakan dua matriks yang saling invers berkebalikan. Disini saya menggunakan contoh invers matriks blok Jika p merupakan matriks persegi, maka Sebelum mencari invers suatu matriks harus menentukan determinannya terlebih dahulu. Determinan merupakan nilai yang dapat dihitung dari unsur-unsur suatu matriks persegi. Invers sendiri dapat diartikan sebagai lawan dari sesuatu kebalikan. Jika suatu matriks memiliki invers, dapat dikatakan matriks tersebut adalah matriks nonsingular. Sebaliknya, jika suatu matriks tidak memiliki invers, maka matriks tersebut merupakan matriks singular. Invers matriks adalah sebuah kebalikan invers dari kedua matriks. Apabila matriks tersebut dikalikan akan menghasilkan matriks persegi AB = BA = . Simbol dari invers matriks adalah pangkat -1 dan terletak di atas hurufnya. Sebagai contoh, matriks B adalah invers matriks A sehingga ditulis B = A–1 dan matriks A adalah invers dari matriks B ditulis A = B-1. Matriks A dan B merupakan dua matriks yang saling invers berkebalikan. Rumus Invers Matriks Persegi Berordo 2x2. Berikut rumus invers matriks yang digunakan untuk matriks berordo 2x2 seperti dikutip dari Cepat Tuntas Kuasai Matematika karangan HJ Sriyanto 2009100. 3. Hasil dan Pembahasan Nilai Eigen Berdasarkan Definisi 1, nilai eigen dan vektor eigen suatu matriks 𝐴 dengan entri-entri bilangan real harus memenuhi 𝐴𝐯 = 𝜆𝐯. Dalam penelitian ini konsep tersebut juga diterapkan untuk mencari nilai eigen dan vektor eigen pada matriks interval menggunakan metode pangkat dengan operasi aritmetika interval yang dimodifikasi. Akan tetapi pada matriks interval digunakan 𝐴̃𝐯̃ ≈ 𝜆̃ 𝑖𝐯̃. dua matriks interval 𝐴̃ dan 𝐵̃ berordo 𝑚 × 𝑛 dikatakan sama yang dinotasikan dengan 𝐴̃ = 𝐵̃ jika dan hanya jika 𝑚𝐴̃ = 𝑚𝐵̃ dan 𝑤𝐴̃ = 𝑤𝐵̃. Sedangkan matriks interval 𝐴̃ dan 𝐵̃ dikatakan ekuivalen dan dinotasikan dengan 𝐴̃ ≈ 𝐵̃ jika dan hanya jika 𝐴̃ = 𝐵̃. Definisi inilah yang menjadi dasar untuk mengatakan bahwa persamaan 𝐴̃𝐯̃ ≈ 𝜆̃ 𝑖𝐯̃ ekuivalen. Berikut ini diberikan contoh mencari nilai eigen dan vektor eigen matriks interval menggunakan metode pangkat. Contoh tentukan nilai eigen dan vektor eigen matriks interval 𝐶̃! Langkah-langkah menentukan nilai eigen dan vektor eigen matriks interval 𝐶̃ dengan metode pangkat sebagai berikut. Ajeng Satriya Salmajati1, Nicky Putri2, Pramudya Aldi Nugraha3 4 A. Menentukan sebarang vektor tak nol B. Melakukan proses iterasi vektor eigen matriks interval sebagai berikut 1. Iterasi Pertama dengan elemen terbesar dari y yaitu m1 [6,15]. Menghitung aproksimasi pertama vektor eigen 2. Iterasi Kedua dengan elemen terbesar dari y yaitu m2 [ Menghitung aproksimasi kedua vektor eigen Dengan cara yang sama diperoleh iterasi ketiga, keempat, kelima, dan keenam vektor eigen matriks interval sebagai berikut Dari iterasi yang telah dilakukan dapat diketahui bahwa 𝐯̃6 konvergen ke 𝐯̃5, sehingga iterasi dapat dihentikan. Dengan demikian, diperoleh vektor eigen matriks interval 𝐶̃ adalah C. Menentukan nilai eigen matriks interval 𝐶̃ D. Ditunjukkan bahwa nilai eigen dan vektor eigen yang telah diperoleh memenuhi persamaan. Untuk 𝜆̃ 1 = [ dengan memenuhi C ≈ λ1 v v . Penentuan Nilai Eigen dan Vektor Eigen Matriks Interval Menggunakan diperoleh midpoint dan width dari C ≈ λ1 v v yaitu Karena 𝐶̃𝐯̃ = 𝑚𝜆̃ 1𝐯̃ dan 𝑤𝐶̃𝐯̃ ≠ 𝑤𝜆̃ 1𝐯̃ maka 1λ =[ merupakan nilai eigen matriks interval 𝐶̃ dengan Ajeng Satriya Salmajati1, Nicky Putri2, Pramudya Aldi Nugraha3 5 Cara yang sama juga dilakukan untuk mengecek 234 λ λ λ , , dengan memenuhi persamaan C ≈ λi v v . Sehingga dapat disimpulkan bahwa matriks interval 𝐶̃ mempunyai empat nilai eigen yaitu Berdasarkan Definisi 6 dapat disimpulkan bahwa yang menjadi nilai eigen terbesar dari matriks interval 𝐶̃ adalah 𝜆̃ 1 dan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen tersebut adalah Nilai Determinan Definisi 3 [1] Misalkan A adalah matriks bujur sangkar. Fungsi determinan dinotasikan dengan det A atau A sebagai jumlah dari semua hasil kali elementer bertanda dari A . Angka det A disebut determinan dari A . Metode untuk menentukan determinan matriks pada makalah ini adalah ekspansi kofaktor. Berikut diberikan teorema yang berhubungan dengan metode ekaspansi kofaktor tersebut. Determinan dari matriks berukuran dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri pada sebarang baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya dan menjumlahkan hasil kali yang diperoleh. Berdasarkan langkah-langkah untuk mendapatkan determinan matriks FLDcircr , maka yang pertama kali dilakukan adalah memperhatikan bentuk pola determinan dari matriks FLDcircr berbentuk khusus pada Persamaan 7 orde 2 x 2 sampai 11 x 11 . Bentuk dari matriks berorde sampai adalah sebagai berikut Selanjutnya menentukan nilai determinan matriks FLDcircr bentuk khusus dengan menggunakan metode ekspansi kofaktor. Nilai determinan matriks FLDcircr bentuk khusus berorde 2 x 2 sampai yang 11 x 11 disajikan dalam tabel 1 sebagai berikut Setelah mendapatkan nilai-nilai determinan dari matriks FLDcircr bentuk khusus orde 2x2 sampai 11x11 yaitu pada Tabel, maka dapat diduga bentuk umum dari determinan matriks FLDcircr berbentuk khusus tersebut berdasarkan pola rekursifnya, yaitu Berdasarkan dugaan tersebut, maka bentuk umum determinan matriks FLDcircr orde n x n disajikan pada Teorema 1 berikut. Teorema 1 Contoh berikut menggambarkan begitu mudahnya mendapatkan nilai determinan dari matriks FLDcircr bentuk khusus pada Persamaan 7. Sebab telah didapatkannya formula secara umum untuk menentukan niali determinannya. Nilai Matriks Dicari determinan dari submatriks matriks  Blok matriks A menjadi matriks 2x2 Ajeng Satriya Salmajati1, Nicky Putri2, Pramudya Aldi Nugraha3 6 Setelah didapat invers dari matriks kemudian dicari determinan dari matiks . Daftar Rujukan [1] Ikhsan Romli, Taufik, Adi Saptari, Muzalna bt, Mohd Jusoh. ICMSAO`11 Kuala Lumpur, April 2011. Symmetric Matrices Properties to Duality in Linear Programming Problem 2 Yola S. S., Nova N. B. 2019 Determinan metriks 2xn. Vol. VIII No. 2. Hal. 188-19 3 Yuyun E. P., Mariatul K., Eka W. R., 2017 Penentuan Nilai Eigen Dan Vektor Eigen Matriks Interval Menggunakan Metode Pangkat. Vol. 6. No. 02. Hal. 17-26. [4] Anton, Howard. 2000. Dasar-dasar Aljabar Linear. Edisi 7, Jilid 1. Interaksara, [5] Leon, Steven. 2001 Aljabar Linier dan Aplikasinya Edisi ke-5. Erlangga, Jakarta. [6] Kholipah Tunisa, Kristina, Rahayu 2017 FMIPA, Universitas Negeri Semarang Nilai Eigen dan Vektor Eigen Matriks atas Aljabar. Semarang. ResearchGate has not been able to resolve any citations for this is one of the most important topics in optimization either a theoretical and algorithmic perspective. Optimization problem usually involved mathematical model. One of the applications widely used is Linear Programming. Linear functions applications are frequently used in production planning, networks, scheduling, and other application of a linear function subject to linear constraints. Extensive number of papers related with duality in optimization has been published. However, studies about the effect of different characteristics of randomly symmetric matrices in the duality in linear programming have not yet been discussed widely. This study addresses new findings which may contribute to advancement of LP theory and practice, particularly on the effects of various number of variables and different characteristics of matrices in LP problems to S YolaN B NovaYola S. S., Nova N. B. 2019 Determinan metriks 2xn. Vol. VIII No. 2. Hal. 188-19Penentuan Nilai Eigen Dan Vektor Eigen Matriks Interval Menggunakan Metode PangkatE P YuyunK MariatulW R EkaYuyun E. P., Mariatul K., Eka W. R., 2017 Penentuan Nilai Eigen Dan Vektor Eigen Matriks Interval Menggunakan Metode Pangkat. Vol. 6. No. 02. Hal. Aljabar LinearHoward AntonAnton, Howard. 2000. Dasar-dasar Aljabar Linear. Edisi 7, Jilid 1. Interaksara,Aljabar Linier dan Aplikasinya Edisi ke-5Steven LeonLeon, Steven. 2001 Aljabar Linier dan Aplikasinya Edisi ke-5. Erlangga, TunisaRahayu KristinaKholipah Tunisa, Kristina, Rahayu 2017 FMIPA, Universitas Negeri Semarang Nilai Eigen dan Vektor Eigen Matriks atas Aljabar. Semarang.

Berikutini diberikan beberapa contoh dari penjumlahan, pengurangan dan perkalian matriks. Rangkuman materi bab vektor kelas x/10 disertai contoh soal dan jawaban dengan pembahasan lengkapnya simak disini. Vektor yang dinyatakan dalam susunan urutan bilangan real memiliki operasi penjumlahan dan pengurangan yang sedikit berbeda dari operasi

1) Pengurangan dua matriks merupakan penjumlahan dengan matriks lawannya. atau A - B = A + (-B) (2) Misalkan A, B dan C adalah tiga matriks yang ordonya sama, maka berlaku : A + B = B + A (3) Perkalian suatu bilangan real k dengan matriks A adalah suatu matriks kA yang didapat dengan cara mengalikan setiap unsur matiriks A dengan k

^{Setelah mengenal dasar-dasar matriks pada artikel sebelumnya, kali ini kami ingin mengenalkanmu dengan operasi perhitungan aljabar dalam matriks, yaitu operasi penjumlahan, pengurangan, dan gimana cara memahami topik operasi matriks? Baca panduan konten ini hingga tuntas, dijamin auto paham operasi matriks!Baca juga Pengertian Matriks, Jenis, dan Transpose MatriksPengertian Operasi MatriksApa itu operasi matriks? Operasi matriks adalah operasi terhadap dua atau lebih matriks. Operasi matriks juga dikenal sebagai operasi aljabar matriks. Pada dasarnya, operasi matriks itu meliputi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian matriks. Eh, tapi kok ada yang kurang ya? Kok tidak ada pembagian seperti halnya perhitungan matematika dasar pada umumnya? Jadi, pada operasi matriks memang tidak ada pembagian karena perkalian matriks itu bersifat tidak komutatif. Apa maksudnya sifat komutatif? Sifat komutatif merupakan sifat dalam operasi hitung yang akan tetap menghasilkan hal sama meskipun letaknya ditukar. Contohnya sebagai berikut ini. Bisa dilihat pada contoh di atas yang menunjukkan pembagian pada operasi matriks tidak Penjumlahan MatriksOperasi matriks yang pertama kita bahas adalah penjumlahan matriks. Operasi matriks adalah penjumlahan 2 matriks yang letak komponennya sama. Sebenarnya, operasi matriks tidak jauh beda dengan operasi penjumlahan pada umumnya, tapi ada syarat matriks bisa sih syarat matriks bisa dijumlahkan? Syarat matriks agar bisa dijumlahkan adalah dua matriks harus memiliki ordo yang sama. Contohnya seperti matriks di bawah ini. Pada contoh di atas, kamu bisa lihat bahwa operasi penjumlahan di atas memiliki ordo yang sama yaitu 2 x 2, sehingga kedua komponen dapat dijumlahkan. Nah, cara menjumlahkannya pun mudah, lho. Kamu hanya tinggal menjumlahkan masing-masing baris sesuai dengan urutannya. Berikut contoh soal operasi penjumlahan matriksContoh Soal Tentukan hasil penjumlahan pada matriks X dan Y!Operasi Pengurangan MatriksSebelumnya kita sudah membahas bagaimana sih operasi penjumlahan matriks. Sekarang, kita akan membahas operasi pengurangan matriks. Sebenarnya, cara pengerjaan penjumlahan dan pengurangan matriks itu konsepnya sama saja, kok. Kamu tinggal mengurangkan masing-masing baris sesuai dengan urutannya. Syarat pengurangan matriks pun sama dengan penjumlahan, yaitu kedua matriks harus memiliki ordo yang sama sehingga bisa contoh soal operasi pengurangan matriksContoh Soal Jika matriks X - Y = Z, maka tentukanlah matriks Z!Operasi Perkalian MatriksTadi kita sudah membahas operasi penjumlahan dan pengurangan, ternyata mudah sekali ya! Sekarang kita akan membahas operasi perkalian matriks. Kira-kira apakah semudah operasi matriks sebelumnya? Yuk simak pembahasan berikut kamu tahu? Matriks bisa dikalikan dengan bilangan real skalar, lho! Eh, apakah artinya matriks tidak punya sifat seperti operasi sebelumnya? Eits, tenang dulu. Operasi perkalian matriks juga memiliki sifat. Namun, kita bahas perkalian matriks dengan bilangan real skalar dulu, yuk!1. Operasi Perkalian Matriks dengan Bilangan Real SkalarPerkalian matriks dengan bilangan real skalar tidak memiliki persyaratan. Jadi, semua matriks dengan ordo apapun bisa dikalikan dengan bilangan real skalar.bilangan d x Matriks C =Secara garis besar, jika kamu ingin mengalikan matriks dengan bilangan real skalar, maka berlaku sifat perkalian seperti1. Sifat distributif C1 = Skalar ke 1, C2 = Skalar ke 2, X = Matriks ke 1, Y = Matriks ke 2 Berikut contoh soal perkalian matriksContoh Soal Tentukan hasil dari a 4A - 2B, jika matriks A dan B adalahMaka2. Operasi Perkalian Dua MatriksPada pembahasan sebelumnya, kita sudah mengetahui bagaimana cara mengalikan matriks dengan bilangan real skalar. Sekarang, kita akan membahas operasi perkalian dua matriks. Berikut rumus menghitung operasi perkalian dua matriks. Operasi perkalian dua matriks memiliki beberapa sifat, yaituA. Tidak KomutatifOperasi perkalian dua matriks bersifat tidak komutatif. Artinya, berbeda dengan perkalian pada Soal Tentukan nilai AB dan BA, jika matrik A dan B adalahJawab Sedangkan, matriks BA hasilnya sebagai berikutJawabBisa dilihat hasil keduanya berbeda, kan? Oleh karena itu, ini membuktikan bahwa sifat tidak komutatif pada perkalian matriks adalah Sifat DistributifPada sifat distributif ini berkaitan dengan operasi penjumlahan matriks. Berikut contohnyaX Y + Z = XY + XZY + Z X = YX + ZX Contoh soal operasi perkalian matriks dengan sifat distributifContoh Soal Tentukanlah hasil X Y+Z jika matriks X, Y, dan Z adalah sebagai berikutJawab Rumus Sifat Matriks = X Y + Z = XY + XZBaca juga Materi Fungsi Kelas 10 Mengenal Pengertian & Jenis Fungsi Matematika____________________________________________________________Nah, itulah operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian matriks. Bagaimana, cukup mudah kan? Semoga pembahasan ini mudah dicerna, ya! Have a good day and see ya in another article!Yuk, asah pemahamanmu mengenai matriks dengan mengerjakan berbagai latihan soal dari Pijar Belajar! Aplikasi belajar Pijar Belajar menyediakan berbagai latihan soal untuk SD, SMP, dan SMA lengkap dengan pembahasannya. Jadi, kamu nggak perlu repot lagi, deh, mencari-cari latihan Pijar Belajar!} Kalausebuah matriks dikalikan dengan bilangan real, maka hasil perkalian tersebut adalah matriks yang masing-masing elemen-elemen dari matriks itu dikalikan dengan bilangan real. Perkalian dua matriks: Nah kalau misalnya dua matriks, kedua matriks pertama (A) hanya dapat dikalikan dengan matriks kedua (B) jika jumlah baris matriks A sama Kalikansuatu baris dengan bilangan real bukan nol. 2. Pertukarkan dua baris 3. Ganti suatu baris dengan hasil penjumlahannya dengan kelipatan dari baris lain. IF/2011 10 Teorema 5.2 Jika A adalah suatu matriks mxn dan a. Nullitas(adalah perkalian dengan A, maka : = Nullitas(A) b. Rank((= Rank (A)

Penjumlahanmatriks dan , Sifat Penjumlahan matriks; Komutatif : A+B=B+A; Assosiatif: (A+B)+C=A+(B+C) A+O=O+A=A, O adalah matriks nol. A+B=O, B disebut lawan atau negatif A, ditulis B=-A; Perkalian matriks dengan bilangan real , maka ; Sifat-sifat Perkalian Matriks dengan Bilangan Real (q+r)A=qA+rA; r(A+B)=rA+rB; p(qA)=(pq)A; Perkalian matriks

VELsAK8.

l8rx1nuqo0.pages.dev/301

l8rx1nuqo0.pages.dev/54

l8rx1nuqo0.pages.dev/130

l8rx1nuqo0.pages.dev/268

l8rx1nuqo0.pages.dev/282

l8rx1nuqo0.pages.dev/148

l8rx1nuqo0.pages.dev/229

l8rx1nuqo0.pages.dev/129

l8rx1nuqo0.pages.dev/388

perkalian matriks dengan bilangan real